Universo Trigonométrico

São poucos os que realmente entendem sobre TRIGONOMETRIA. É uma matéria extensa, cansativa e muito grande mas vou tentar passar um pouco do que eu sei.

Vamos começar com alguns conceitos básicos:

Trigonometria no Triangulo Retângulo

No triangulo retângulo, com vimos em Teorema de Pítagoras, sempre há um angulo reto (90º) que aponta para a hipotenusa, e os catetos.
Aqui na trigonometria chamaremos os catetos de Cateto Oposto e Cateto Adjacente.
As relações básicas na trigonometria são SENO, COSSENO e TANGENTE.

Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo(catetos são os lado que formam o ângulo de 90º)

                  

Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo

A seguir as relações básicas para trabalharmos no triangulo

    

   


 


 

Depois de visto as relações vejamos algumas fórmulinhas que devemos guardar em mente.

Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica.

Na mesma tabela existem:

-COSSECANTE: que nada mais é que o inverso do SENO para descobrir é só inverter as fórmulas
- SECANTE: que é inverso do COSSENO basta inverter as relações

OBS: onde tiver raíz no denominador não esquecer de fazer a RACIONALIZAÇÃO

Conhecendo essa tabela podemos trabalhar e descobrir qualquer lado de um triangulo RETÂNGULO.

Círculo Trigonométrico

Para trabalhar com ângulos maiores ou diferentes que os ângulos da tabela usamos o círculo trigonométrico.
Representando fica assim.


OBS`s: PÍ = 180º, 0,5 = 1/2, o eixo horizontal é o eixo dos cossenos, o eixo vertical é o eixo dos senos, o círculo é separado em 4 quadrantes.
O 1º é o circulo onde encontramos os angulos de 30º, 45º e 60º, e vai aumentando no sentido anti-horário. 2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante.

Para trabalharmos com o sinal dos senos e cossenos utiliza-se o seguinte raiocínio:
-seno (encontrado no eixo vertical) traça-se a reta até o eixo se bater acima é positivo se bater abaixo neg.
-cosseno (encontrado no eixo horizontal) traç-se a reta até o eixo se bater à direita posit. e esquerda neg.

No círculo observamos que existem ângulos semelhantes e equivalentes que diferenciarão apenas no sinal.
ex: 30º=150º=210º=330º
esses ângulos na hora de utilizar a fórmula os nº serão os mesmos, mudarão o sinal de acordo com o nome (seno e cosseno), e quadrante.

Identidades Trigonométricas

existe uma fórmula muito usadapara calcular angulos que diz:

Sen²x + Cos²x = 1

Chama-se relação fundamental (x nesse caso representa um ângulo qualquer)

Soma e subtração

para somar e subtrair ângulo utilizamos algumas fórmulas vejamos à seguir algumas delas:

SOMA

Sen(A+B) = senA.cosB + senB.cosA

Cos(A+B) = cosA.cosB - senA.senB

Tang(A+B) = tanA + tanB
                       ----------------
                       1 - tanA.tanB

SUBTRAÇÃO

Sen(A-B) = senA.cosB - senB.cosA

Cos(A-B) = cosA.cosB + senA.senB

Tang(A-B) = tanA - tanB        
                      ----------------
                      1 + tanA.tanB

Arcos Duplos

Quando trabalhamos com o arco referente a um ângulo dizemos que ele é o dobro do seu ângulo.
ex: senX ===> sen2X

Fórmulas dos Arcos

SENO

sen2X = 2.senX.cosX

COSSENO

cos2X = cos²X - sen²x

Para saber cada um usa-se a relação fundamental (sen²x + cos²x = 1) isolando cada um e substituindo na fórmula
ex: sen²x + cos²x = 1 ====> sen²x = 1 - cos²x =====> cos² = 1 - sen²x

substituindo:

cos2X = cos²x - sen²x
cos2X = cos²x - (1-cos²x)
cos2X = 2.cos²x - 1

cos2X = cos²x - sen²x
cos2X = (1-sen²x) - sen²x
cos2X = 1 - 2.sen²x

Espero que tenha conseguido passar algo muito explicativo a vocês!
Um grade abraço!

                              

Dilatação Térmica

Dilatação Térmica em Sólidos

Começaremos discutindo a dilatação em sólidos. Para um estudo mais detalhado podemos separar essa dilatação em três tipos: dilatação linear (aquela que ocorre em apenas uma dimensão), dilatação superficial (ocorre em duas dimensões).
Falaremos a seguir um pouco sobre cada uma.

Dilatação Linear

Quando estamos estudando a dilatação de um fio, teremos a ocorrência predominante de um aumento no comprimento desse fio. Essa é a característica da dilatação linear. Imaginemos uma barra de comprimento inicial Lo e temperatura inicial To. Ao aquecermos esta barra para uma temperatura T ela passará a ter um novo comprimento L.
Na dilatação linear temos um coeficiente de dilatação que é a letra grega "alpha".
Por tanto na dilatação linear a variação do comprimento é dada através do produto (multiplicação), do comprimento inicial vezes o coeficiente de dilatação linear vezes a variação da temperatura (que é dada através da temperatura final menos a temperatura inicial).

Logo temos que:


 A seguir veremos a Dilatação Superficial.

Dilatação Superficial

Na dilatação superficial trabalaremos com área (superfície), ou seja, duas dimensões. A dilatação do comprimento e da largura (área) de uma chapa de aço é superficial. Se um disco ou chapa com um furo central dilatar, o tamanho do furo e da chapa aumentam simultaneamente.
Para a dilatação superficial o coeficiente de dilatação muda. Aqui trabalharemos com a letra grega "Beta", que nada mais é que, 2 vezes "alpha".
Então na dilatação superficial a variação da área, é dada através do produto (multiplicação), da área inicial, vezes o coeficiente de dilatação superficial vezes a variação da temperatura (delta T = T - To).

Logo temos que:



Dilatação Volumétrica

Na dilatação volumétrica trabalhamos com volumes, ou seja, nesse caso ocorre um dilatação em três dimensões. Largura, comprimento e altura.
Na fórmula não se difere muito das outras, mudando apenas o coeficiente de dilatação.
A fórmula de dilatação volumétrica fica assim: variação do volume é igual a o volume inicial vezes o coeficiente de dilataçã volumétrica (que é a letra grega "gama"), vezes a variação da temperatura.

Logo temos que:



Relações entre os coeficientes

Quando trabalhamos com a dilatação superficial, ou volumétrica e queremos converter para a dilatação linear utilizamos algumas formulas de dilatação, veremos à seguir algumas delas:

Para passar da superficial para a linear utilizamos a relação "beta" é igual a duas vezes "alpha"

E para passar da volumétrica para a linear utilizamos a relação "gama" é igual a três vezes "alpha"

Escalas Termométricas

Existem 3 escalas termométricas que são as mais utilizadas no cotidiano.

São elas: Escala Celsius "ºC", escala Fahrenheit "ºF" e escala Kelvin "K".
Que são usadas para medir a temperatura de um corpo ou de um lugar, etc...
Vamos conhecer melhor cada uma delas:

Escala Celsius

É a escala usada no Brasil e na maior parte dos países, oficializada em 1742 pelo astrônomo e físico sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como pontos de referência a temperatura de congelamento da água sob pressão normal (0°C) e a temperatura de ebulição da água sob pressão normal (100°C).

Escala Fahrenheit

Outra escala bastante utilizada, principalmente nos países de língua inglesa, criada em 1708 pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo como referência a temperatura de uma mistura de gelo e cloreto de amônia (0°F) e a temperatura do corpo humano (100°F).

Em comparação com a escala Celsius:

0°C=32°F

100°C=212°F

Escala Kelvin

Também conhecida como escala absoluta, foi verificada pelo físico inglês William Thompson (1824-1907), também conhecido como Lorde Kelvin. Esta escala tem como referência a temperatura do menor estado de agitação de qualquer molécula (0K) e é calculada apartir da escala Celsius.

Por convenção, não se usa "grau" para esta escala, ou seja 0K, lê-se zero kelvin e não zero grau kelvin. Em comparação com a escala Celsius:

-273°C=0K

0°C=273K

100°C=373K

As escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin se relacionam pela equação seguinte:

Através dessas escalas podemos fazer conversões de temperaturas.

Exemplo:

20°C <=> °F

No lugar de Tc (temperatura celsius) colocamos 20, pois é a temperatura em questão. Divide por 5 e passa-se o 9 para o outro lado multiplicando (ou faz-se um multiplicação cruzada).

4x9 = Tf-32

36 = Tf-32

36+32 = Tf

68 = Tf

Então 20° Celsius equivalem à 68° Fahrenheit.

Exemplo 2:

20°C <=> K

Quando vamos passar de Celsius para Kelvin simplifica as divisões por 5.

Fica:

Tc = Tk-273

Resolvendo:

20 = Tk-273

20+273 = Tk

293 = Tk

Então 20° Celsius equivalem à 293° Kelvins.

Equação do 2º grau

Toda a equação em que temos ax²+bx+c pode ser chamada equação do 2º grau, tendo como coeficiente a, b e c com

Exemplos:

EQUAÇÃO       a     b     c

x²+2x+1          1    2    1
-2x²+5x-1        -2    5   -1


Percebe-se que o termo que acompanha x² é o coeficiente a;
O termo que acompanha x é o coeficiente b;
Termo sem uma incógnita é o que chamamos de coeficiente c.


As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas


-Incompletas

Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

considere a equação x²-9=0, percebe-se que o b está oculto e, para a resolução temos:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=

2º caso: c=0

considere a equação x²-9x=0, percebe-se que o c está oculto e, para resolução basta colocar o x em evidência:

x²-9x=0  »  x(x-9)=0  »  x=0
                                 x-9=0  »  x=9
                                 x={0 , 9}


-Completas

para resolver equações completas devemos usar a fórmula de Bháskara que é a seguinte:


  ou 


   


Em toda a equação do 2º grau temos que achar 2 respostas para isso usamos o x e o x'

Exemplos:

3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

resolvendo Delta ( ) = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

aplicando a fórmula ( Bháskara )

 


 e 


Logo x=2 e x'=1/3

então o conjunto solução dessa equação é R={1/3 , 2}