Universo Trigonométrico

São poucos os que realmente entendem sobre TRIGONOMETRIA. É uma matéria extensa, cansativa e muito grande mas vou tentar passar um pouco do que eu sei.

Vamos começar com alguns conceitos básicos:

Trigonometria no Triangulo Retângulo

No triangulo retângulo, com vimos em Teorema de Pítagoras, sempre há um angulo reto (90º) que aponta para a hipotenusa, e os catetos.
Aqui na trigonometria chamaremos os catetos de Cateto Oposto e Cateto Adjacente.
As relações básicas na trigonometria são SENO, COSSENO e TANGENTE.

Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo(catetos são os lado que formam o ângulo de 90º)

                  

Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo

A seguir as relações básicas para trabalharmos no triangulo

    

   


 


 

Depois de visto as relações vejamos algumas fórmulinhas que devemos guardar em mente.

Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica.

Na mesma tabela existem:

-COSSECANTE: que nada mais é que o inverso do SENO para descobrir é só inverter as fórmulas
- SECANTE: que é inverso do COSSENO basta inverter as relações

OBS: onde tiver raíz no denominador não esquecer de fazer a RACIONALIZAÇÃO

Conhecendo essa tabela podemos trabalhar e descobrir qualquer lado de um triangulo RETÂNGULO.

Círculo Trigonométrico

Para trabalhar com ângulos maiores ou diferentes que os ângulos da tabela usamos o círculo trigonométrico.
Representando fica assim.


OBS`s: PÍ = 180º, 0,5 = 1/2, o eixo horizontal é o eixo dos cossenos, o eixo vertical é o eixo dos senos, o círculo é separado em 4 quadrantes.
O 1º é o circulo onde encontramos os angulos de 30º, 45º e 60º, e vai aumentando no sentido anti-horário. 2º quadrante, 3º quadrante e 4º quadrante.

Para trabalharmos com o sinal dos senos e cossenos utiliza-se o seguinte raiocínio:
-seno (encontrado no eixo vertical) traça-se a reta até o eixo se bater acima é positivo se bater abaixo neg.
-cosseno (encontrado no eixo horizontal) traç-se a reta até o eixo se bater à direita posit. e esquerda neg.

No círculo observamos que existem ângulos semelhantes e equivalentes que diferenciarão apenas no sinal.
ex: 30º=150º=210º=330º
esses ângulos na hora de utilizar a fórmula os nº serão os mesmos, mudarão o sinal de acordo com o nome (seno e cosseno), e quadrante.

Identidades Trigonométricas

existe uma fórmula muito usadapara calcular angulos que diz:

Sen²x + Cos²x = 1

Chama-se relação fundamental (x nesse caso representa um ângulo qualquer)

Soma e subtração

para somar e subtrair ângulo utilizamos algumas fórmulas vejamos à seguir algumas delas:

SOMA

Sen(A+B) = senA.cosB + senB.cosA

Cos(A+B) = cosA.cosB - senA.senB

Tang(A+B) = tanA + tanB
                       ----------------
                       1 - tanA.tanB

SUBTRAÇÃO

Sen(A-B) = senA.cosB - senB.cosA

Cos(A-B) = cosA.cosB + senA.senB

Tang(A-B) = tanA - tanB        
                      ----------------
                      1 + tanA.tanB

Arcos Duplos

Quando trabalhamos com o arco referente a um ângulo dizemos que ele é o dobro do seu ângulo.
ex: senX ===> sen2X

Fórmulas dos Arcos

SENO

sen2X = 2.senX.cosX

COSSENO

cos2X = cos²X - sen²x

Para saber cada um usa-se a relação fundamental (sen²x + cos²x = 1) isolando cada um e substituindo na fórmula
ex: sen²x + cos²x = 1 ====> sen²x = 1 - cos²x =====> cos² = 1 - sen²x

substituindo:

cos2X = cos²x - sen²x
cos2X = cos²x - (1-cos²x)
cos2X = 2.cos²x - 1

cos2X = cos²x - sen²x
cos2X = (1-sen²x) - sen²x
cos2X = 1 - 2.sen²x

Espero que tenha conseguido passar algo muito explicativo a vocês!
Um grade abraço!

                              

Dilatação Térmica

Dilatação Térmica em Sólidos

Começaremos discutindo a dilatação em sólidos. Para um estudo mais detalhado podemos separar essa dilatação em três tipos: dilatação linear (aquela que ocorre em apenas uma dimensão), dilatação superficial (ocorre em duas dimensões).
Falaremos a seguir um pouco sobre cada uma.

Dilatação Linear

Quando estamos estudando a dilatação de um fio, teremos a ocorrência predominante de um aumento no comprimento desse fio. Essa é a característica da dilatação linear. Imaginemos uma barra de comprimento inicial Lo e temperatura inicial To. Ao aquecermos esta barra para uma temperatura T ela passará a ter um novo comprimento L.
Na dilatação linear temos um coeficiente de dilatação que é a letra grega "alpha".
Por tanto na dilatação linear a variação do comprimento é dada através do produto (multiplicação), do comprimento inicial vezes o coeficiente de dilatação linear vezes a variação da temperatura (que é dada através da temperatura final menos a temperatura inicial).

Logo temos que:


 A seguir veremos a Dilatação Superficial.

Dilatação Superficial

Na dilatação superficial trabalaremos com área (superfície), ou seja, duas dimensões. A dilatação do comprimento e da largura (área) de uma chapa de aço é superficial. Se um disco ou chapa com um furo central dilatar, o tamanho do furo e da chapa aumentam simultaneamente.
Para a dilatação superficial o coeficiente de dilatação muda. Aqui trabalharemos com a letra grega "Beta", que nada mais é que, 2 vezes "alpha".
Então na dilatação superficial a variação da área, é dada através do produto (multiplicação), da área inicial, vezes o coeficiente de dilatação superficial vezes a variação da temperatura (delta T = T - To).

Logo temos que:



Dilatação Volumétrica

Na dilatação volumétrica trabalhamos com volumes, ou seja, nesse caso ocorre um dilatação em três dimensões. Largura, comprimento e altura.
Na fórmula não se difere muito das outras, mudando apenas o coeficiente de dilatação.
A fórmula de dilatação volumétrica fica assim: variação do volume é igual a o volume inicial vezes o coeficiente de dilataçã volumétrica (que é a letra grega "gama"), vezes a variação da temperatura.

Logo temos que:



Relações entre os coeficientes

Quando trabalhamos com a dilatação superficial, ou volumétrica e queremos converter para a dilatação linear utilizamos algumas formulas de dilatação, veremos à seguir algumas delas:

Para passar da superficial para a linear utilizamos a relação "beta" é igual a duas vezes "alpha"

E para passar da volumétrica para a linear utilizamos a relação "gama" é igual a três vezes "alpha"

Escalas Termométricas

Existem 3 escalas termométricas que são as mais utilizadas no cotidiano.

São elas: Escala Celsius "ºC", escala Fahrenheit "ºF" e escala Kelvin "K".
Que são usadas para medir a temperatura de um corpo ou de um lugar, etc...
Vamos conhecer melhor cada uma delas:

Escala Celsius

É a escala usada no Brasil e na maior parte dos países, oficializada em 1742 pelo astrônomo e físico sueco Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como pontos de referência a temperatura de congelamento da água sob pressão normal (0°C) e a temperatura de ebulição da água sob pressão normal (100°C).

Escala Fahrenheit

Outra escala bastante utilizada, principalmente nos países de língua inglesa, criada em 1708 pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo como referência a temperatura de uma mistura de gelo e cloreto de amônia (0°F) e a temperatura do corpo humano (100°F).

Em comparação com a escala Celsius:

0°C=32°F

100°C=212°F

Escala Kelvin

Também conhecida como escala absoluta, foi verificada pelo físico inglês William Thompson (1824-1907), também conhecido como Lorde Kelvin. Esta escala tem como referência a temperatura do menor estado de agitação de qualquer molécula (0K) e é calculada apartir da escala Celsius.

Por convenção, não se usa "grau" para esta escala, ou seja 0K, lê-se zero kelvin e não zero grau kelvin. Em comparação com a escala Celsius:

-273°C=0K

0°C=273K

100°C=373K

As escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin se relacionam pela equação seguinte:

Através dessas escalas podemos fazer conversões de temperaturas.

Exemplo:

20°C <=> °F

No lugar de Tc (temperatura celsius) colocamos 20, pois é a temperatura em questão. Divide por 5 e passa-se o 9 para o outro lado multiplicando (ou faz-se um multiplicação cruzada).

4x9 = Tf-32

36 = Tf-32

36+32 = Tf

68 = Tf

Então 20° Celsius equivalem à 68° Fahrenheit.

Exemplo 2:

20°C <=> K

Quando vamos passar de Celsius para Kelvin simplifica as divisões por 5.

Fica:

Tc = Tk-273

Resolvendo:

20 = Tk-273

20+273 = Tk

293 = Tk

Então 20° Celsius equivalem à 293° Kelvins.

Equação do 2º grau

Toda a equação em que temos ax²+bx+c pode ser chamada equação do 2º grau, tendo como coeficiente a, b e c com

Exemplos:

EQUAÇÃO       a     b     c

x²+2x+1          1    2    1
-2x²+5x-1        -2    5   -1


Percebe-se que o termo que acompanha x² é o coeficiente a;
O termo que acompanha x é o coeficiente b;
Termo sem uma incógnita é o que chamamos de coeficiente c.


As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas


-Incompletas

Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

considere a equação x²-9=0, percebe-se que o b está oculto e, para a resolução temos:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=

2º caso: c=0

considere a equação x²-9x=0, percebe-se que o c está oculto e, para resolução basta colocar o x em evidência:

x²-9x=0  »  x(x-9)=0  »  x=0
                                 x-9=0  »  x=9
                                 x={0 , 9}


-Completas

para resolver equações completas devemos usar a fórmula de Bháskara que é a seguinte:


  ou 


   


Em toda a equação do 2º grau temos que achar 2 respostas para isso usamos o x e o x'

Exemplos:

3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

resolvendo Delta ( ) = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

aplicando a fórmula ( Bháskara )

 


 e 


Logo x=2 e x'=1/3

então o conjunto solução dessa equação é R={1/3 , 2}

Conjuntos Numéricos

1-Números Naturais (N)

são os números inteiros e positivos
Ex: {0 , 1 , 2 , 3 , ... }

2-Números Inteiros (Z)

são os números inteiros positivos e negativos
Ex: { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

OBS: todo número natural (N) é inteiro, por isso, (N) é um subconjunto de (Z)

3-Números Racionais (Q)

são aqueles que podem ser expressos na forma de fração a/b com a e b como números inteiros, e com b diferente de zero (0)
Ex: {-1/2 , 3/6 , 2 , -6 , 4/5 }

- todo número que é uma dízima periódica é racional
Ex: 0,1111... = 1/9
Ex: 0,3232... = 32/99
Ex: 2,3333... = 21/9

-todo número decimal exato é racional
Ex: 0,1 = 1/10
Ex: 2,3 = 23/10

OBS: todo número inteiro e natural é racional, por isso, (N) e (Z) são subconjuntos de (Q)

4-Números Irracionais (I)

são aqueles que não podem ser expressos na forma de fração com a/b, e com a e b inteiros e b diferentede zero. E são compostos ainda por dizimas infinitas e não periódicas
Ex: 
Ex:
5-Números Reais (R)

é a junção dos números naturais(N), inteiros(Z), racionais(Q), irracionais(I), todos os números formam o grupo dos números reais(R)
Ex: 1,22222...
Ex: 3,1417...
Ex: 2/3 , 1/2 ...
Ex: -4 , -7 , 6 , 4 ...

O Teorema de Pitágoras

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.


Pensamentos de Pitágoras

1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.
4. O que fala semeia; o que escuta recolhe.
5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
7. Todas as coisas são números.
8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.
9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.
11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.
12. Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las.

Pitágoras

Quem ?? Pi.. o que ?? Nunca ouvi falar !! Quem é esse ai ??
É realmente muito triste saber que estas perguntas existem e que elas são feitas frequentemente todos os dias
Mas afinal quem foi ..

Pitágoras

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..


mas são algumas coisas que realmente não são nescessárias saber, quando você conhece o TEOREMA DE PITÁGORAS (veja em outras postagens).

Principais descobertas

Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

Números figurados

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

           α
         α α
        α α α
      α α α α

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.
2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

 

pois é isso não é incrivel !! Pitágoras é .. "O CARA"
VEJA MAIS EM "O TEOREMA DE PITÁGORAS"